"קשר-חם": לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי המישור, אנליזה - חשבון דיפרנציאלי, אנליזה - חשבון אינטגרלי, טריגונומטריה, נוסחאות הכפל

הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם": לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הנושא: הוכחות ויזואליות ללא מילים (כמעט) הוכן ע"י: אורית זסלבסקי, גרייסי ויניצקי תקציר: בחומר מובאות הוכחות ויזואליות למשפטים מתחומים שונים במתמטיקה מילות מפתח: הוכחות, אלגברה - טכניקה אלגברית, אלגברה - סדרות, תורת הקבוצות, גיאומטרית המישור, אנליזה - חשבון דיפרנציאלי, אנליזה - חשבון אינטגרלי, טריגונומטריה, נוסחאות הכפל המקוצר, אי-שוויון הממוצעים, סכום סדרה חשבונית, סכום סדרה הנדסית אינסופית, משולש, מרובע, שטח משולש, שטח מקבילית, שטח טרפז, משפט פיתגורס, נגזרת, פונקציה הפוכה, אינטגרציה בחלקים, משפט הקוסינוסים החומר הוגש במסגרת: הכנס הארצי של מרכזי המקצוע מתמטיקה, כפר המכביה, אפריל 9 החומר מכיל בנוסף לעמוד הפתיחה: 7 עמודים

-- הוכחות ויזואליות ללא מילים (כמעט) השימוש בייצוגים ויזואליים ללמידת מתמטיקה הוכחות ללא מילים (כמעט) מבוססות, בדרך כלל על ייצוגים ויזואליים, שכמעט מדברים בעד עצמם ייצוגים ויזואליים יכולים לכלול: צורות גיאומטריות, גרפים, צבעים, קיפולי נייר, וכל דבר חזותי שתופס את העין המציאות בביה"ס כיום היא, שהשימוש בייצוגים ויזואליים, הרבה פחות שכיח מאשר בייצוגים אחרים (כגון ייצוגים אלגבריים/אנליטיים) מחקרים רבים מצביעים על כך, שתלמידים (וכפי הנראה, גם מורים למתמטיקה) נמנעים מלהשתמש בייצוגים ויזואליים, גם כאשר שימוש זה הכרחי או מפשט בצורה ניכרת את הבעיה (איזנברג ודרייפוס (989, 99), דרייפוס (99), וינר (989)) חלק מהקשיים הנפוצים, הגורמים לשימוש המועט בהוכחות ויזואליות הם: אינטרפרטציה לא נכונה של מידע גרפי; חוסר הבחנה בין יציר גיאומטרי והציור המייצג אותו; היעדר יכולת לקשר ולתרגם בין ייצוג ויזואלי לאנליטי (המעבר מייצוג ויזואלי לאנליטי קשה יותר, בדרך כלל, מהכיוון ההפוך) ייצוג ויזואלי, הנשען על האינטואיציה של הלומד, יכול להביא ללמידה משמעותית יותר כמו כן, עצם השימוש בייצוגים שונים represettios) (multiple - יכול לתרום להבנה של תלמידים רבים יותר, מאחר ותלמידים מסוימים מסוגלים לפתור בעיות דווקא בקונטקסט גיאומטרי, למשל, ולא באלגברי כיום, בעידן המחשבים, הולכת וגוברת ההכרה בכך שלייצוגים ויזואליים יש פוטנציאל לתרום לתהליך הלמידה, להעשיר אותו, ולהביא להבנה מעמיקה של מושגים מתמטיים על התוקף של הוכחות ויזואליות הוכחות ללא מילים (כמעט) הנשענות של ייצוגים ויזואליים, זוכות להכרה בקרב קהיליית המתמטיקאים ביטוי לכך אפשר למצוא בעובדה שבעיתונות מתמטית מקצועית (למשל, ב- Mthemtis Mgzie וב-,(The ollege Mthemtis Jourl מופיעות בקביעות דוגמאות להוכחות מסוג זה ישנם סוגים שונים של הוכחות ללא מילים הוכחות אלה נבדלות ביניהן, למשל, במידת השקיפות והכלליות שלהן אפשר להבחין בין הוכחות ויזואליות תקפות לחלוטין לבין הוכחות שבהן הייצוג קובע, מעצם טבעו, מגבלות מסויימות על הנתונים ובכך פוגע בכלליות ההוכחה ישנן גם "הוכחות" ללא מילים, שקשה לקבלן כתקפות, אך בכל זאת יש להן ערך כהדגמה או המחשה של טענות שהוכחו כבר או יוכחו בעתיד בכלים אחרים יש לקחת בחשבון כי השימוש בייצוג ויזואלי לא תמיד מהווה יתרון יש לבדוק לגופו של עניין את מידת התרומה של השימוש בו ישנם גם מקרים, שבהם הייצוג הויזואלי איננו מקל על ההוכחה, אלא רק מסבך אותה אין להתעלם גם מהסכנות הטמונות בהסתמכות-יתר על ייצוג ויזואלי עם זאת, הגישה האומרת שיש להימנע כליל מהסתמכות על ייצוגים ויזואליים, כדי להמנע משימוש לא מוצלח בהם - שכרה יוצא בהפסדה מעניין לציין, שכמעט ללא קשר למידת התקפות של הוכחה ויזואלית, תמיד יימצאו כאלה, שלאחר שהועלו בפניהם נימוקים ויזואליים תקפים, לא יסתפקו בכך ויבקשו לקבל גם "הוכחה מתמטית"

-- דוגמאות הדוגמאות שלהן ערוכות לפי נושאים, ומייצגות תכנים מתמטיים הנלמדים מהכיתות של חטיבת הביניים ועד לכיתות הגבוהות של החטיבה העליונה חישובי שטח סעיף זה מבוסס על: p 0 Studet Mth Notes, My 986, הדוגמאות בסעיף זה ממחישות את השקילות בין מקבילית למלבן, המהווה בסיס לחישוב שטח המקבילית, ובאופן דומה, מתוך שקילות למחצית מקבילית, נבנות הנוסחאות לחישוב שטח משולש וטרפז h h שטח המקבילית h h h כפליים שטח המשולש h h h כפליים שטח הטרפז ) h (

-- נוסחאות הכפל המקוצר סעיף זה מבוסס על: Mthemtis i Shool, Septemer 979, p 5 () Studet Mth Notes, My 986, p 0 () ההוכחות של נוסחאות הכפל המקוצר נשענות על חישובי שטחים ונפחים, כאשר העיקרון המנחה הוא שימור השטח (או הנפח) של צורה גיאומטרית תחת פירוקה והרכבתה מחדש להלן חמש דוגמאות כאלה (שתיים מהן קשורות לאותה נוסחה) מן הראוי לציין, שהוכחות אלה תופסות רק עבור מספרים חיוביים (מדוע?) ( ) ( ) ( ) (-) ()

-4- ( ) ( ) ( ) ()

-5- rwise & Ethemedy, 99 תורת הקבוצות סעיף זה מבוסס על: נוכיח, בעזרת דיאגרמות וון, את הטענה הבאה עבור הקבוצות :,, ( ) ( ) ( ) 4444444 4444444444 4444444 4444444444 ( )

-6-4444444 4444444444 4444444 4444444444 4444444444444444444444444444 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) האם ההוכחה תקפה לכל שלוש קבוצות?

-7- םילימ אלל תוילאוזיו תוחכוה" יקציניו יסיירגו יקסבלסז תירוא,"(טעמכ) יטמתמה ךוניחה ןונעירו רופיש םודיקל יצראה זכרמה,"םח-רשק" הפיח,ןוינכטה תוינובשח תורדס 4 :לע ססובמ הז ףיעס () Mthemtis i Shool, Sep 979, p 5 () Eiseerg & Dreyfus, 99 () Mthemtis Mgzie, 984, Vol 57, No, p 04 (4) Studet Mth Notes, My 986, p 9, םימצע לש ףסואכ םייעבטה םירפסמה לש גוצייה תורשפא לע תונעשנ הז ףיעסב תוחכוהה,תוצבשמב וא תודוקנב שמתשהל לבוקמ םידידב,םתיינמל תיללכ הטיש אוצמלו איה םא םג םימצע לש םצמוצמ רפסמ לע לעופב תעצבתמ דע -מ םייעבטה םירפסמה םוכס בושיח לש םוכסה תחסונל עיגהל תונוש םיכרד שולש ןלהל :םינושארה םייעבטה םירפסמה ןבלמל המלשה עובירל המלשה ( ) S S S S S S k k k k

-8- םילימ אלל תוילאוזיו תוחכוה" יקציניו יסיירגו יקסבלסז תירוא,"(טעמכ) יטמתמה ךוניחה ןונעירו רופיש םודיקל יצראה זכרמה,"םח-רשק" הפיח,ןוינכטה דע -מ םייגוז-יאה םייעבטה םירפסמה םוכס בושיח לש םוכסה תחסונל תוחכוה יתש ןלהל :םיינושארה םייגוז-יאה םירפסמה 5 ( ) ןתינ יעוביר רפסמ לכ :םייעובירה םירפסמל שיש תדחוימה תינרוצה הנוכתב שומיש שי ןאכ םג עובירכ רדסל םימלשה םיעובירה תרדס 5 :לע ססובמ הז ףיעס The ollege Mthemtis Jourl, Vol, No, Mrh 99, p 4 :תוהזה תחכוה ןלהל ( ) ( ) ( ) 5 7 9 {

-9-6 סדרה הנדסית מתכנסת סעיף זה מבוסס על: Mthemtis Mgzie, Vol 6, No 4, Otoer 998 () Mthemtis Teher, Vol 84, No 7, Otoer 99, p 508 () Eiseerg & Dreyfus, 99 () את מושג הגבול לא ניתן לתאר בדיוק, אולם בהוכחות הבאות נראה כיצד אפשר להמחישו, ומתוך כך להגיע לגבול של סדרה הנדסית מתכנסת תנו דעתכם באיזו מידה מטפלות ההוכחות הבאות במקרים כלליים ובאיזו מידה הן תקפות q q q א להלן הוכחה של נוסחת הסכום של סדרה הנדסית: נתון: < q על צלע ריבוע היחידה PRMS מקצים קטע MQ השווה ל- q הישר PQ חותך את הישר SM בנקודה T על MT מקצים בזה אחר זה קטעים באורכים של חזקות עולות של q P R q Q q q q S M q q q T PRQ TSP ST PR PS RQ q q q

-0- q q q ב להלן הוכחה של נוסחת הסכום: y P yqx yx q q q x S x qx S qs S q q ג 4

-- 7 אי שוויון הממוצעים סעיף זה מבוסס על: Mthemtis Mgzie, Vol 59, No, Fe 986, p () Eiseerg & Dryfus, 99 () להלן מובאות שתי הוכחות לכך שהממוצע הגיאומטרי קטן או שווה לממוצע החשבוני האחת מבוססת על הפרש שטחים השניה מבוססת על המשמעות הגיאומטרית של שני הממוצעים הללו במעגל, ועל כך שהקוטר הוא המיתר הגדול ביותר במעגל נסו לברר לעצמכם, בכל אחת מההוכחות, מתי מתקיים השוויון בין שני הממוצעים, ומה המשמעות הגיאומטרית של מקרה זה ( ) 4 - - O מרכז המעגל MO D (היות ו- (MO > D (הגובה ליתר במשולש יש"ז הוא הממוצע הגיאומטרי בין שני היטלי הניצבים על היתר) M O D

-- 8 משפט פיתגורס כידוע, למשפט פיתגורס יש הוכחות ויזואליות רבות אחת מהן, הלקוחה מ- ( p),eves, 98 מובאת להלן גם כאן, כמו בהוכחות של נוסחאות הכפל המקוצר, העיקרון המנחה הוא שימור השטח כאשר מפרקים את הצורה ומרכיבים אותה מחדש עם אותם החלקים באופן אחר לוקחים ארבעה משולשים ישרי זווית ומסדרים אותם כך: 64444 7 44448 - שלב א' שלב ב' 9 אי שוויון במרובע בסעיף זה נראה הוכחה למשפט הבא: משפט: שטח מרובע (S), שצלעותיו, (,,, d הן צלעות נגדיות), קטן או שווה לממוצע החשבוני של מכפלות הצלעות הנגדיות, כלומר: d S הוכחת המשפט הינה דינמית בטבעה, ואפשר להמחיש אותה היטב באמצעות שקפים, שניתן לסובב ולהפוך ההוכחה נשענת על הטענה, (הקלה יותר להוכחה), ששטח משולש קטן או שווה למחצית מכפלת שתיים מצלעותיו h h h S h כלומר, בכל משולש מתקיים:

-- d d S m d m m d d m m d S S, S d S S S S d מכאן:

-4-0 חוצה הזווית הישרה במשולש ישר זווית סעיף זה מבוסס על: p 40 The ollege Mthemtis Jourl, Vol, 99, בסעיף זה נדגים הוכחה של המשפט הבא: משפט: חוצה הזווית הישרה במשולש ישר זווית מחלק את הריבוע הבנוי על היתר לשני מרובעים חופפים ההוכחה שלהלן מבוססת על השלמה של הצורה הנתונה לריבוע גדול ראיית הנתונים כחלק מצורה גדולה יותר מפשטת את ההוכחה נתון המשולש : L הוא חוצה הזווית הישרה עלינו להוכיח שהמרובעים: ELK ו- DLK חופפים K E L D מכאן, ההמשך כבר מיידי אפשר גם הפעם, בדומה להוכחה שבסעיף 9, לגזור את הריבוע הגדול לאורך האלכסון שלו ע"י טרנספורמציות על מחצית הריבוע הזה, ניתן להרכיבו בחזרה באופן שהחפיפה תנבע משיקולי סימטריה כדאי לנסות!

-5- סכום זוויות הקודקוד (הפנימיות) בכוכב סעיף זה מבוסס על: p 8 The ollege Mthemtis Jourl, Vol 7, No 4, Septemer 986, 4 4 5 D 4 E מכאן, סכום זוויות הקודקוד (הפנימיות) של כוכב הוא 80 משפט הקוסינוסים סעיף זה מבוסס על: Mthemtis Mgzie, Vol 6, No 5, Deemer 990 בציור נתון משולש יש להוכיח את משפט הקוסינוסים לשם כך, בונים מעגל שמרכזו ב- ורדיוסו שווה ל- D E osγ F (γ מתקיים": E F G ( os γ ) ( ) () os γ G ; < רצוי לתת את הדעת, באיזו מידה הוכחה זאת ניתנת להכללה, למשל, עבור המקרים: במקרה ש- < מבצעים את הבניה הנ"ל כאשר הרדיוס הוא במקרה ש- מבצעים את הבניה הנ"ל כאשר הרדיוס הוא (ההוכחה לא תהייה תקפה אם (

-6- הנגזרת של פונקציה הפוכה סעיף זה מבוסס על: Dreyfus, 99 Eiseerg & הקשר בין הנגזרת של פונקציה לנגזרת של הפונקציה ההפוכה לה, נובע מהסימטריה של שני הגרפים ביחס לישר,yx וכן מהמשמעות הגיאומטרית של הנגזרת, דהיינו, שיפוע המשיק מכיון ששיפוע של קו ישר הוא טנגנס הזווית שהוא יוצר עם הכוון החיובי של ציר ה- x, מספיק לבדוק מהו הקשר בין שתי הזוויות שהמשיקים המתאימים יוצרים עם הציר בציור הבא מופיע המידע הדרוש למציאת הקשר המבוקש: כאשר:,f() g(x)f (x) [ f ] ( ) ' [ f ] ( ) ' (,) α 90 α f(x) f'( ) tgα g ' () tg(90 α) tgα tgα f ' () (,)

-7- מקורות rwise, J & Ethemedy, E (99) Visul iformtio d Villd Resoig I W Zimmerm, & S uighm (eds), Visuliztio i Tehig d Lerig Mthemtis, (pp 9-4) Providee, RI: M Notes Series, Vol 9 Dreyfus, T (99) O the Sttus of Visul Resoig i Mthemtis d Mthemtis Edutio I F Furighetti (Ed), Proeedigs of the Fifteeth Itertiol oferee o the Psyhology of Mthemtis Edutio, (pp -48), ssisi, Itly Eiseerg, T, & Dreyfus, T (989) Sptil Visuliztio i the Mthemtis urriulum Fous o Lerig Prolems i Mthemtis, Vol, No (pp, -4) 4 Eiseerg, T, & Dreyfus, T (99) O the Relute to Visulize Mthemtis I W Zimmerm, & S uighm (Eds), Visuliztio i Tehig d Lerig Mthemtis, (pp 5-7) Providee, RI: M Notes Series, Vol 9 5 Eves, H (98) Gret Momets i Mthemtis efore 650, The Mthemtil ssoitio of meri 6 Vier, S (989) The voide of Visul osidertio i lulus Studets Fous o Lerig Prolems i Mthemtis, Vol, No (pp 49-56) 7 Studet Mth Notes, My 986, p 9, 0, 8 Mthemtis i Shool, Septemer 979, p 5